Мнимые числа


Мнимые числа, несмотря на своё название, вполне реальны.

По крайней мере, в той же степени, что и отрицательные числа, иррациональные или ноль.

Хоть их не найти на привычной нам числовой оси, мнимые числа позволяют справляться с задачами, над которыми сотни лет бились умнейшие математики, а их состоятельность проверена на практике учёными и инженерами.

Когда аль-Хорезми придумал, как решать уравнения вида ax2+bx+c=0, за что все школьники мира должны быть ему благодарны, оказалось, что иногда уравнения корней не имеют.

К примеру, более «простое» уравнение X2+1=0

Ремарка

Все не так уж и сложно, как кажется.

Придумают же какую-то чушь — и радуются...

Прежде, чем смотреть...

В видео ниже вы узнаете о мнимых и комплексных числах, а также узнаете, где ошибся автор канала Welch Labs и блогер Торвальд.

Это НЕПРАВИЛЬНАЯ визуализация решения уравнения

Тут не хватает четвёртой оси!

А вот здесь правильно показаны корни уравнения.

То самое видео Торвальда

Внимание!

Автор далек от математики, на что указывают возмущённые комментарии к видео :)

Сразу смотреть слишком сложно?

Можно сделать это постепенно!

Введение

Часть 1. Откуда и зачем?

Математика по-итальянски

Часть 2

В прошлом видео ребята из Welch Labs упомянули, как долго и трудно математические инновации внедрялись в общественное сознание. Теперь мы перенесемся в Италию времён Ренессанса. Удивительное время: эти люди боялись и избегали отрицательных чисел, но при этом выводили такие формулы, что современные школьники падают в ужасе, и даже студенты нервничают. Одна из таких формул привела к появлению мнимых чисел. 

Проблема Кардано

Часть 3

Из этого видео от Welch Labs вы узнаете, как Рафаэль Бомбелли, ученик мастера математических дуэлей, Джеролама Кардано, прошёл трудный путь от отрицания мнимых чисел до их принятия. По крайней мере, частичного: Бомбелли допустил, что числа с нужными ему свойствами могут существовать, и рассчитал, куда они могут его привести. Кстати, как думаете, было ли это открытие, или изобретение?

Решение Бомбелли

Часть 4

Из этого видео вы узнаете, как математический дуэлянт Бомбелли закончил дело своего учителя и одолел их общего врага — проблему Кардано. Так началась история мнимых чисел. Даже их отец (или первооткрыватель?) не смог до конца понять, что же перед ним. К счастью, у нас есть огромный багаж послезнания, поэтому давайте в этот раз закончим с историей, а в следующий — начнём разбираться, что же делать с этими числами.

Числа существуют в двух измерениях

Часть 5

А из этого видео вы узнаете, как с помощью карандаша, листа бумаги и числа i переместиться в другое измерение. Спрашиваете, где взять число i? Не волнуйтесь, все ответы уместились в 4 минуты, и снабжены подробными иллюстрациями.

Комплексная плоскость

Часть 6

У вас мог возникнуть вопрос: вот добавили мы к числу ещё одну закорючку, и что дальше? Как это меняет мир? Как помогает решить то уравнение из первого видео? Не переживайте, просто пока у вас нет инструментов для работы с подобными числами. С одним из самых важных мы вас познакомим в этой серии.

Комплексное умножение

Часть 7

Скажем честно: вряд ли кто-то из вас сделал домашнее задание. Канал Welch Labs подготовился к такому развитию событий, и это видео объяснит, что вы должны были сделать и к каким выводам прийти.

Матемагия

Часть 8

Из прошлых выпусков мы знаем два способа представить комплексные числа и два способа, как их делить и умножать. Пора бы уже что-нибудь посчитать, а заодно разобраться, зачем кому-то понадобилось плодить формы записи и без того непонятных чисел.

Замыкание

Часть 9

В математике нельзя просто так взять и ввести новое понятие. Сколь бы не было полезно предложенное нововведение, к нему будут относиться с подозрением, пока вы не предоставите надежного обоснования. Но будьте осторожны, возможно замыкание.

Функции комплексных переменных

Часть 10

Как бы удручающе это ни звучало, но в нашей повседневности слишком мало пространственных измерений. Возможно, вы никогда не замечали этой проблемы, но физики и математики страдают от неё регулярно. Например, разобраться в комплексных числах было бы гораздо проще, если бы мы могли рисовать четырёхмерные графики. В этом видео вы узнаете, почему это — проблема, а потом обсудим, как её можно решить.

Четыре измерения

Часть 11

Пора перейти к практике. В этот раз — никаких исторических экскурсов и минимум определений. Просто рисуем линии, преобразуем их, и обсуждаем, что из этого получилось. Самое удивительное, что математики прошлого проделали эту работу почти два века назад, без компьютеров и калькуляторов. Страшно представить, что ещё они могли бы открыть, будь у них современные инструменты.

Решение Римана

Часть 12

Что делать, когда ваша задача требует четырёхмерных графиков, а вселенная выдала только три? Ответ очевиден: нужно выдумать что-то новое, непонятное, но при этом обладающие необходимыми вам свойствами. В прошлый раз мы познакомились с многозначными функциями. А из этого видео вы узнаете, зачем.

Поверхности Римана

Часть 13

Наконец, последняя серия. Если вы ждали возможности посмотреть все серии разом за один вечер, то вот она. У многих зрителей ещё после первой возник вопрос: «А что же такое нам, собственно, показали? На самом же деле всё не так!» И вот теперь пришло время расставить все точки над i.

Кстати!

Что может математика — очень интересно рассказано в цикле романов А. Азимова «Основание». Ну, или в одноимённом сериале «Основание», правда, его создатели КРАЙНЕ вольно обошлись как с главными героями, так и с самим сюжетом…

И ещё об «Основании».

В поздних романах Азимов связал мир Основания с другими своими циклами произведений об Империи Трантора и о позитронных роботах. Объединённый цикл, который носит название «Вселенная Основания» (Foundation Universe или Greater Foundation; также «Галактическая история» или «История будущего»), охватывает историю человечества на протяжении более 20 тысяч лет и включает 14 романов и несколько десятков рассказов.

P.S.

Лично я для себя понял, что комплексные числа — это числа с дополнительным измерением.

Теги к статье

Интересное Математика

Поделиться статьёй и ссылки

Комментарии

 

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    Для авторизации - кликните ЗДЕСЬ

    Дюна. Книги и фильмы

    Сразу можно сказать - философия в книге просто зашкаливает. Фрэнку Герберту даже задавали вопрос - не хочет ли он создать новую религию?

    Впереди новые рубежи

    У меня появилась традиция - каждый новый год смотреть поздравления Л. И. Брежнева.